Демо-курс

Пусть дано квадратное уравнение
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Можно считать, что коэффициент \(a \ne 0\), так как иначе уравнение не будет квадратным (второй степени).

Разделив исходное уравнение на \(a \ne 0\), получим равносильное (т.е. имеющее такие же решения) уравнение
\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]

Выделим полный квадрат в правой части полученного уравнения

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = \color{red}{x^2 + 2\cdot\frac{b}{2a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 } - \left ( \frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a} = \]

\[ = \color{red} {\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 } - \left ( \frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a} = \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{b^2}{4a^2} +\frac{c}{a} = \]

\[ \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0 \]

Далее получаем следующую цепочку равносильных уравнений

\[ \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0 \ \Leftrightarrow \ \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \ \Leftrightarrow \]

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \ \Leftrightarrow \ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ \Leftrightarrow \]

\[ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ \Leftrightarrow \ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Нетрудно убедиться, что эти выкладки верны и в поле комплексных чисел.

Примечание: Формулы набраны на языке LaTeX прямо в текстовом редакторе.